Question

найти при каких значениях производная функции меньше нуля

Answer 1

Ответ:

$-\dfrac{\pi}2+4\pi n<x<\dfrac{5\pi}2+4\pi n,~n\in \mathbb{Z}$

Объяснение:

Для начала найдем производную данной функции

$f(x) = 4\cos\dfrac x2-x\sqrt 2$

$f'(x) = (4\cos\dfrac x2-x\sqrt 2)'$

1. Используем формулу  $(f + g)'=f'+g'$

$(4\cos\dfrac x2-x\sqrt 2)'=(4\cos\dfrac x2)'-(x\sqrt 2)'$

2. Используем формулу $\big(af(x)\big)'=af'(x)$

$(4\cos\dfrac x2)'-(x\sqrt 2)'=4(\cos\dfrac x2)'-\sqrt 2(x)'$

3. Найдем производную $(x)' = 1$

$(4\cos\dfrac x2)'-(x\sqrt 2)'=4(\cos\dfrac x2)'-\sqrt 2\cdot1$

4. Используем формулу $f\big(g(x)\big)'=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)$, где

$f(g)=\cos g,~ g(x)=\dfrac x2$

$(\cos g)'=-\sin g,~\Big(\dfrac x2\Big)'=\dfrac12$

$4(\cos\dfrac x2)'-\sqrt 2\cdot1=-4\cdot(\sin\dfrac x2)\cdot\Big(\dfrac 12\Big)-\sqrt 2=-2\sin\dfrac x2-\sqrt 2$

Решим неравенство

$-2\sin\dfrac x2-\sqrt 2<0$

$-2\sin\dfrac x2<\sqrt 2\\-\sin\dfrac x2<\dfrac{\sqrt 2}2\\\sin\dfrac x2>\dfrac{\sqrt 2}2$

см. на рисунок

$-\dfrac{\pi}4+2\pi n<\dfrac x2<\dfrac{5\pi}4+2\pi n,~n\in \mathbb{Z}\\-\dfrac{\pi}2+4\pi n<x<\dfrac{5\pi}2+4\pi n,~n\in \mathbb{Z}$