Question

Найти такие значения а , для которых корни уравнения
Log(2) ( x+3) -2 Log(4) x= a
были бы расположены между числами 3 и 4

Answer 1

$\log_2(x+3)-2\log_4x=a$

ОДЗ: $x>-3$

$\log_2(x+3)-2\log_4x=\log_2(x+3)-2 \cdot \dfrac{1}{2}\log_2x=\\=\log_2(x+3)-\log_2 x=\log_2 \dfrac{x+3}{x}=\log_2 \left(1+ \dfrac{3}{x}\right)=a\\2^a=1+\dfrac{3}{x}\\ \\2^a-1=\dfrac{3}{x}\\\dfrac{1}{2^a-1}=\dfrac x3\\\\ x=\dfrac{3}{2^a-1}\\3<x<4 \quad \Rightarrow \quad 3<\dfrac{3}{2^a-1}<4\\1<\dfrac{1}{2^a-1}<\dfrac{4}{3}$

Здесь можно уже не использовать сложные преобразования, а внимательно всмотреться в выражение по-центру. Оно будет больше единицы при $2^a-1<1$, то есть $2^a<2$. В силу монотонности показательной функции:

$2^a<2^1\\a<1$

Нашли верхнюю границу $a$.

Рассмотрим неравенство $\dfrac{1}{2^a-1}<\dfrac{4}{3}$ . Поскольку $2^a-1<0$ в силу $a<1$, мы можем перемножить крест-накрест, изменив при этом знак:

$4(2^a-1)>3\\2^a-1>\dfrac{3}{4}\\2^a>\dfrac{7}{4}\\a>\log_2\dfrac{7}{4}$

Нашли нижнюю границу $a$.

Ответ:

$a \in \left(\log_2 \dfrac{7}{4} ; \,1\right).$

Проверка решения на скриншотах (если вы понимаете, почему там именно так записано, то есть умеете проверять решения с помощью программ для построения графиков).