Question

При каких значениях А корни уравнения удовлетворяют условию 0

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

В своем ответе я покажу два способа решения, каждый из которых имеет право на жизнь. Я предпочитаю решать вторым способом, почему и рекомендую вам начать с него.

Аналитическое решение:

При $a=1$ уравнение перестает быть квадратным и принимает линейный вид $-2x+1=0$, откуда $x=\dfrac{1}{2}$. Значит такое значение параметра нам подходит.

При $a\ne1$ графиком уравнения является парабола.

Корни будут, если $D\ge0$:

$D=(a+1)^2-4a(a-1)=a^2+2a+1-4a^2+4a=-3a^2+6a+1$

Тогда:

$x=\dfrac{a+1\pm\sqrt{-3a^2+6a+1}}{2(a-1)}$.

По условию $0<x<3$, поэтому:

$0<\dfrac{a+1\pm\sqrt{-3a^2+6a+1}}{2(a-1)}<3$

Решив записанную конструкцию выше имеем:

$a\in\left(\dfrac{12}{7};\;\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+1\right]$.

Итого ответом будет:

$a\in\{1\}\cup\left(\dfrac{12}{7};\;\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+1\right]$

Достоинства подхода:

• Решение "в лоб", особого ума, чтобы понять не надо.
• Требуются только шаблонные знания математики.
• Легко написать на компьютере.

Недостатки подхода:

• Сложные расчеты, повышающие вероятность ошибки.
• Ограниченность применения.

Схематично-графический метод:

Заметим, что при $a=1$ уравнение становится линейным и имеет корень $x=\dfrac{1}{2}$. Тогда такое значение параметра $a$ необходимо взять в ответ.

Дальнейшее решение выполним, когда $a\ne1$:

Введем функцию $f(x)=(a-1)x^2-(a+1)x+a$. Тогда $f(x)$ - это парабола.

Изобразим эскизы возможного расположения графика $f(x)$ так, чтобы выполнялось условие задачи (я все делаю в единой системе координат, чтоб долго на компьютере не рисовать, вы разбейте на несколько; ситуации пронумерованы и выделены разным типом начертания).

(см. прикрепленный файл)

Опишем эти случаи на языке математики, при условии, что выполняются фразы $D\ge0$ и $0<x_0<3$:

$\left\{\begin{array}{c}f(0)>0\\f(3)>0\\\end{array}\right;$                    /или/                    $\left\{\begin{array}{c}f(0)<0\\f(3)<0\end{array}\right;$

Выполним необходимые расчеты:

$f(0)=a$

$f(3)=7a-12$

$D=-3a^2+6a+1$

$x_0=\dfrac{a+1}{2a-2}$

Тогда на условии, что $a\in\left(\dfrac{4}{5};\;\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+1\right]$ (посчитано $D\ge0$ и $0<x_0<3$) системы примут вид:

$\left\{\begin{array}{c}a>0\\7a-12>0\end{array}\right;$                    /или/                    $\left\{\begin{array}{c}a<0\\7a-12<0\end{array}\right;$

Решить их не составляет труда.

Объединив найденное, получаем, что $a\in\left(\dfrac{12}{7};\;\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+1\right]$.

Обратимся к записанному выше и дополним ответ:

$a\in\{1\}\cup\left(\dfrac{12}{7};\;\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+1\right]$

Достоинства подхода:

• Наглядное представление решения за счет создания схематичных изображений графиков.
• Простота вычислений.
• Понятность, обеспечивающая доступность понимания темы при наличии удовлетворительного уровня подготовки и желания учащегося.

Недостатки подхода:

• Трудно написать на компьютере.

Задание выполнено!