Question

Натуральное число n является произведением 2k простых чисел p1,p2...p2k в каких-то степенях. Может ли$\frac{n}{p_{1} } -\frac{n}{p_{2} } + ... - \frac{n}{p_{2k} }=0$?

Answer 1

Пусть $n=p_1^{m_1}\cdot p_2^{m_2}\cdot \ldots \cdot p_q^{m_q}.$ Обращаю Ваше внимание, что я не собираюсь использовать четность числа различных простых делителей числа p. Обращаю также Ваше внимание, что в условии не сказано, в каком порядке берутся простые делители числа  p. Также я не буду использовать равенство числа положительных и числа отрицательных слагаемых. Итак, можно считать, что нам дана сумма

$\frac{n}{p_1}\pm \frac{n}{p_2}\pm \ldots \pm \frac{n}{p;_q}=0;$ сократив на общие множители, получаем

$p_2\cdot p_3\cdot \ldots \cdot p_q\pm p_1\cdot p_3\cdot \ldots \cdot p_q\pm\ldots \pm p_1\cdot p_2\cdot \ldots p_{q-1}=0.$

Поэтому $p_2\cdot p_3\cdot \ldots \cdot p_q=p_1(\pm p_3\cdot\ldots\cdot p_q\pm p_2\cdot p_4\cdot \ldots \cdot p_q\pm\ldots \pm p_2\cdot p_3\cdot \ldots \cdot p_{q-1}).$

Поскольку правая часть делится на $p_1,$ левая часть  также обязана делиться на $p_1,$   а это очевидно не так.

Вывод: такое равенство не может  иметь место.