Question

Неравенство с неизвестной степенью, корнем и логарифмом

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\sqrt{9-\log_2^2(2x-5)}=2+2^{|x^2-5x+6|}$

Введем функции $f(x)=\sqrt{9-\log_2^2(2x-5)}$ и $g(x)=2+2^{|x^2-5x+6|}$. Про вторую сразу скажем, что $g(x)>2$, но на этом не остановимся. Видим, что в степени у нас модуль, а значит самое маленькое, что мы можем получить - это $2^0=1$ при $x=2$ или $x=3$. Тогда наименьшее значение этой функции будет равно $3$.

Теперь разберемся с $f(x)$. У нас есть квадратный корень, поэтому все значения функции точно $\ge0$. Но и здесь мы идем дальше. Поменяем временно $\log_2^2(2x-5)$ на букву $t$. Тогда будет $f(t)=\sqrt{9-t^2}$. Под корнем парабола, ветви которой направлены вниз, а значит есть наибольшее значение, равное $\sqrt{9}=3$ при $\log_2^2(2x-5)=0$, откуда $x=3$.

Наибольшее значение $f(x)$ равно $3$ и достигается при $x=3$. Наименьшее значение $g(x)$ равно $3$ и достигается при $x=2$ или $x=3$.

Тогда единственный корень исходного уравнения $x=3$.

Уравнение решено!