Question

№356 Ю.М. Колягин, 10 класс. Максимально подробно .
Найти пятый член разложения бинома
( а/√x+√x/а)^m , если коэффициент третьего члена равен 66

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Коэффициент третьего члена разложения бинома Ньютона равен:

$C_n^{3-1}=C_n^2=66\\\frac{n!}{(n-2)!*2!} =66\\\frac{(n-2)!*(n-1)*n}{(n-2)!*1*2} =66\\(n-1)*n=66*1*2\\n^2-n=132\\n^2-n-132=0\\D=529\ \ \ \ \sqrt{D}=23\\n_1=-11\notin\ \ \ \ n_2=12.$

Коэффициент пятого члена разложения бинома Ньютона равен:

$C_{12}^{5-1}=C_{12}^4=\frac{12!}{(12-4)!*4!}=\frac{8!*9*10*11*12}{8!*1*2*3*4} =9*5*11=495.$

Пятый член разложения бинома $(\frac{a}{\sqrt{x} } +\frac{\sqrt{x} }{a})^m$  равен:

$C_{12}^4*(\frac{a}{\sqrt{x} })^{12-4}*(\frac{\sqrt{x} }{a})^4=495*(\frac{a}{\sqrt{x} })^8*(\frac{a}{\sqrt{x} } )^{-4} =495*(\frac{a}{\sqrt{x} })^{8-4}=495*\frac{a^4}{x^2}.$

Ответ: $\frac{495a^4}{x^2} .$