Question

в десятичной записи числа 2025 цифр: 2021 тройка и цифры 2,0,2,1 вписаны в произвольной порядке. докажите , что число не может быть квадратом

Answer 1

Сложим все цифры этого числа:

3*2021 + 2 + 0 + 2 + 1 = 6063 + 5 = 6068

Нетрудно заметить, что 6069 делится на 3, а поскольку сумма цифр дает при делении на 3 тот же остаток, то остаток от деления на 3 нашего числа, состоящего из 2025 цифр равен -1 (эквивалент остатка 2)

Однако, квадрат натурального числа не делящегося на 3 всегда при делении на 3 дает остаток 1. (При делении на 3 возможно два остатка: +-1)

Действительно, ведь:

n =(3k+-1)^2 = 9k^2 +-6k + 1 - остаток 1

То есть мы пришли к противоречию, данное число не является полным квадратом.