Question

Помогите решить (очень прошу полностью расписать, с объяснением)

Answer 1

Обозначим: b+c=x>0; a+c=y>0; a+b=z>0; неравенство превращается в

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{9}{x+y+z},$ что равносильно

$(yz+xz+xy)(x+y+z)\ge 9xyz.$

Чтобы доказать это неравенство, применим по отдельности неравенство Коши между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел к обеим скобкам в левой части:

$(yz+xz+xy)(x+y+z)\ge (3\sqrt[3]{yzxzxy})\cdot (3\sqrt[3]{xyz})=9\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\cdot \sqrt[3]{xyz}=$

$=9\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=9xyz$