Question

При каком наибольшем значении параметра a уравнение $\frac{x^3-1}{x-1}=\frac{a}{8}$ имеет ровно один корень?

Answer 1

Ответ:   а=24 .

$\dfrac{x^3-1}{x-1}=\dfrac{a}{8}\ \ ,\ \ \ \ \ \ ODZ:\ \ x\ne 1\ \ ,\\\\\dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}=\dfrac{a}{8}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ x^2+x+1=\dfrac{a}{8}\ ,\ x\ne 1$

Строим параболу   $y=x^2+x+1$   и проводим прямую   $y=\dfrac{a}{8}$  .

Парабола имеет вершину в точке  $(-\frac{1}{2}\ ;\ \frac{3}{4})$ .

При х=1 квадратный трёхчлен принимает значение

$y(1)=x^2+x+1\Big|_{x=1}=1+1+1=3$  .  

Значит, на графике параболы надо выколоть точку  А(1;3) .

Прямые вида   $y=\dfrac{a}{8}$  параллельны оси ОХ и проходят через точки, ординаты которых равны  $\dfrac{a}{8}$  .  Так как точка  (1;3) не принадлежит параболе, то прямая, параллельная оси ОХ и проходящая через точку с ординатой  у=3, будет пересекать параболу не в двух, а только в одной точке с координатами  В(-2;3) .

Ещё один раз прямая, параллельная оси ОХ, пересечёт параболу лишь в её вершине , то есть при   $y=\dfrac{3}{4}=0,75$  .

Итак при   $\dfrac{a}{8}=3\ \ ,\ \ a=24$   и  при    $\dfrac{a}{8}=\dfrac{3}{4}\ \ ,\ \ a=6$  прямая, параллельная

оси ОХ, пересечёт параболу один раз.

Наибольшим значением параметра будет значение  а=24  ( значение

а=6 - наименьшее значение ).