Question

79-81
11 клас, системи рівнянь з параметрами

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

79:

$\left\{\begin{array}{c}x^2+y^2=1\\x+y=a\end{array}\right;$

Выразим $y$ из второй строки системы:

$y=a-x$

Подставим его в первую строку системы:

$x^2+(a-x)^2=1\\2x^2-2ax+a^2-1=0$

Берем дискриминант, деленный на четыре, и приравниваем его к нулю:

$\dfrac{D}{4}=a^2-2(a^2-1)=-a^2+2\\-a^2+2=0\\a=\pm\sqrt{2}$

Итого при $a=\pm\sqrt{2}$ исходная система уравнений имеет ровно одно решение.

80:

$\left\{\begin{array}{c}(x-y)^2=6a-14\\x^2+y^2=3(a+2)\end{array}\right;$

В первой строке системы имеем график двух параллельных прямых, равноудаленных от прямой $y=x$ при $a>\dfrac{7}{3}$. При $a=\dfrac{7}{3}$ графиком будет прямая

Во второй строке системы имеем уравнение окружности с радиусом $\sqrt{3(a+2)}$ и центром в точке $(0;\;0)$.

Тогда, при $a>\dfrac{7}{3}$ каждая прямая пересекает окружность столько же раз, сколько другая.

Очевидно, что сразу возьмем в ответ $a=\dfrac{7}{3}$.

Покажем, что случая, когда обе прямые касаются окружности, не существует.

По формуле расстояния от точки до прямой этот случай можно описать так:

$\sqrt{3(a+2)}=\dfrac{\sqrt{6a-14}}{\sqrt{2}},\;<=>\;3(a+2)=3a-7,\;<=>\;6=-7$, неверно.

Итого при $a=\dfrac{7}{3}$ исходная система уравнений имеет ровно два различных решения.

81:

$\left\{\begin{array}{c}3x-ay=1\\6x+4y=2\end{array}\right;$

Значение $a=0$ не подходит.

При $a\ne0$:

$\left\{\begin{array}{c}y=\dfrac{3}{a}x-\dfrac{1}{a}\\\\y=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2}\end{array}\right;$

Бусконечное число решений будет, если коэффициенты угла наклона и смещения прямых совпадают.

$\left\{\begin{array}{c}\dfrac{3}{a}=-\dfrac{3}{2}\\\\-\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{2}\end{array}\right,\;<=>\;a=-2$

Итого при $a=-2$ исходная система имеет бесконечное число решений.

Задание выполнено!