Question

11 клас, задача з параметром

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$f(x)=8x^3-3(3a+1)x^2+6(a-2)x+5$

Берем первую производную:

$f'(x)=24x^2-6(3a+1)x+6(a-2)$

По условию нужно, чтобы имелся строгий экстремум.

Тогда берем вторую производную:

$f''(x)=48x-6(3a+1)$

Перейдем к системе, чтобы с ее помощью найти значения параметра, которые нужно исключить:

$\left\{\begin{array}{c}24x^2-6(3a+1)x+6(a-2)=0\\48x-6(3a+1)=0\end{array}\right,\\\\\left\{\begin{array}{c}4x^2-(3a+1)x+a-2=0\\8x-3a-1=0\end{array}\right;$

Система не имеет решений.

Вернемся к первой производной:

$f'(x)=24x^2-6(3a+1)x+6(a-2)$

В таких случаях выгодно строить схематичную параболу, описывая каждое интересующее нас расположение на языке математики.

Учитывая, что  $D=9a^2-10a+33>0$, получим:

(см. прикрпепленный файл)

Запишем систему:

$\left\{\begin{array}{c}f'(0)>0\\x_0>0\end{array}\right;$

То есть нужно решить:

$\left\{\begin{array}{c}a-2>0\\3a-1>0\end{array}\right,\;<=>\;a\in\left(2;\; +\infty\right)$

Итого при $a\in\left(2;\; +\infty\right)$ точки экстремума функции принадлежат промежутку $(0;\; +\infty)$.

Задание выполнено!