Question

ДВИ МГУ 2014 ЗАДАНИЕ 4 ПОМОГИТЕ 100 баллов

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$\sin^2x+\sqrt{2}\left|\sin x\right|\cos\left(\dfrac{5x}{2}-\dfrac{5\pi}{8}\right)+\dfrac{1}{2}=0$

Заметим, что $|\sin x| = 0$ не является решением уравнения.

Тогда его можно поделить на $|\sin x|$.

$|\sin x|+\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{5x}{2}-\dfrac{5\pi}{8}\right)+\dfrac{1}{2|\sin x|} = 0$

Выполним преобразования:

$\cos\left(\dfrac{5x}{2}-\dfrac{5\pi}{8}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(-|\sin x|-\dfrac{1}{2|\sin x|}\right)\\\\\\\cos\left(\dfrac{5x}{2}-\dfrac{5\pi}{8}\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{2|\sin x|+\dfrac{1}{|\sin x|}}{2}\right)$

Из неравенства о среднем следует, что $\dfrac{2|\sin x|+\dfrac{1}{|\sin x|}}{2}\ge \sqrt{2}$.

Тогда правая часть равенства $\le -1$.

Понятно, что нас устроит только тот случай, когда она равна $-1$.

Делаем замену вида $t=|\sin x|$.

Решаем уравнение:

$\dfrac{2t+\dfrac{1}{t}}{2}=\sqrt{2},\;<=>\;t=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Пришли к системе:

$\left\{\begin{array}{c}\cos\left(\dfrac{5x}{2}-\dfrac{5\pi}{8}\right)=-1\\|\sin x|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right;$

Решая ее, получаем:

$\left\{\begin{array}{c}x=\dfrac{13\pi}{20}+\dfrac{4n\pi}{5},\;n\in Z\\\\x=\dfrac{\pi}{4}+2n\pi,\;n\in Z\end{array}\right;$

Пересекая решения, получаем ответ:

$x=\dfrac{9\pi}{4}+4n\pi,\;n\in Z$

Задание выполнено!