Question

Решить уравнение $f^{'} (x)=\frac{f(1)}{3x-2} ,$ если $f(x)=\frac{2x+1}{3x-2}$

Выбрать один из правильных ответов:
1) $\frac{1}{18}$
2) $-\frac{1}{9}$
3) $-\frac{1}{3}$
4) $\frac{1}{2}$

Answer 1

$f(x)=\dfrac{2x+1}{3x-2}$

Найдем нужные значения для уравнения:

$f(1)=\dfrac{2\cdot1+1}{3\cdot1-2} =\dfrac{2+1}{3-2} =\dfrac{3}{1} =3$

$f'(x)=\dfrac{(2x+1)'(3x-2)-(2x+1)(3x-2)'}{(3x-2)^2}=$

$=\dfrac{2(3x-2)-(2x+1)\cdot3}{(3x-2)^2}=\dfrac{6x-4-6x-3}{(3x-2)^2}=-\dfrac{7}{(3x-2)^2}$

Составляем уравнение:

$f'(x)=\dfrac{f(1)}{3x-2}$

$-\dfrac{7}{(3x-2)^2}=\dfrac{3}{3x-2}$

Отметим ОДЗ: $x\neq \dfrac{2}{3}$.

Тогда умножим обе части на $(3x-2)^2$:

$-7=3(3x-2)$

$9x-6=-7$

$9x=-1$

$x=-\dfrac{1}{9}$

Ответ: -1/9