Question

''''''''''''''''''''

Answer 1

Ответ:

$f(a)=a^4+2a^3+a^2+\dfrac{1}{30}$

Объяснение:

Будем считать, что подынтегральная функция $f(x)$ интегрируема по Риману на отрезке $[a-1;a]$.

Тогда, воспользовавшись дифференцированием по параметру $a$, получим:

$f(a)-f(a-1)=4a^3$ - линейное неоднородное рекуррентное соотношение.

Характеристическое уравнение $\lambda-1=0\Rightarrow \lambda=1\Rightarrow f^{OO}(a)=C_1\cdot 1^a=C_1$.

Частное решение ищем в виде $f^{r_H}(a)=Aa^4+Ba^3+Ca^2+Da$.

Подставляя в рекуррентное соотношение и рассматривая точки $a=0,a=1,a=\dfrac{1}{2},a=2$, получим систему для коэффициентов:

$\left\{\begin{array}{c}-A+B-C+D=0\\ A+B+C+D=4\\ \dfrac{1}{4}B+D=\dfrac{1}{2}\\ 15A+7B+3C+D=32\end{array}\right.$

Из первых двух уравнений, сложив их, получим $B+D=2$. Тогда, с учетом третьего, $\dfrac{3}{4}B=\dfrac{3}{2}\Rightarrow B=2\Rightarrow D=0$. Значит, $A+C=2$ и $15A+3C=18$, откуда $12A=12\Rightarrow A=1\Rightarrow C=1$.

Итак, решением системы является $A=1,B=2,C=1,D=0$.

Значит, $f(a)=f^{OO}(a)+f^{r_H}(a)=C_1+a^4+2a^3+a^2$.

Подставив полученную функцию в условие, найдем значение константы $C_1$:  $a^4=\int\limits_{a-1}^a \left(C_1+x^4+2x^3+x^2\right)dx=\left . \left(C_1x+\dfrac{x^5}{5}+\dfrac{x^4}{2}+\dfrac{x^3}{3}\right)\right|\limits_{a-1}^a=C_1+\dfrac{a^5-(a-1)^5}{5}+\dfrac{a^4-(a-1)^4}{2}+\dfrac{a^3-(a-1)^3}{3}$$C_1=\dfrac{a^5-(a-1)^5}{5}-\dfrac{a^4+(a-1)^4}{2}+\dfrac{a^3-(a-1)^3}{3}=\dfrac{1}{30}$

Полученная функция удовлетворяет условию.