Question

Решить уравнение с логарифмами. Очень нужна помощь

Answer 1

Ответ:

5; 8

Пошаговое объяснение:

$\dfrac{x+1}{3}\cdot(\log_5{x}-\log_5{8})+6\log_x{2}-2=0\\\dfrac{x+1}{3}\cdot\left(\dfrac{\log_2{x}}{\log_2{5}}-\dfrac{3}{\log_2{5}}\right)+\dfrac{6}{\log_2{x}}-2=0\\\dfrac{(x+1)(\log_2{x}-3)}{3\log_2{5}}+\dfrac{6}{\log_2{x}}-2=0$

ОДЗ: x > 0, x ≠ 1

Учитывая ОДЗ, домножим уравнение на $3\log_2{5}\cdot\log_2{x}$, а также обозначим $\log_2{x}=a$ для удобства:

$a(x+1)(a-3)+18\log_2{5}-6a\log_2{5}=0\\a(x+1)(a-3)-6\log_2{5}(a-3)=0\\(a-3)(a(x+1)-6\log_2{5})=0\\(\log_2{x}-3)((x+1)\log_2{x}-6\log_2{5})=0$

$\log_2{x}-3=0\\\log_2{x}=3\\x=8$

ИЛИ

$(x+1)\log_2{x}-6\log_2{5}=0\\(x+1)\log_2{x}=6\log_2{5}$

На промежутке x > 1 слева представлено произведение двух положительных монотонно возрастающих функций. Значит, на данном промежутке левая часть — монотонно возрастающая функция, принимающая каждое значение ровно один раз. Значит, при x > 1 уравнение имеет не более одного корня. Действительно, при x = 5 равенство выполняется.

На промежутке 0 < x < 1 $x+1>0, \log_2{x}<0\Rightarrow (x+1)\log_2{x}<0<6\log_2{5}$. На данном промежутке решений быть не может. Остальные промежутки числовой оси не удовлетворяют ОДЗ.

Таким образом, уравнение имеет два решения: 5 и 8.