Question

(Log1/5((корень (х+3)^2) +(корень в 4 степени (2-х)4)) больше или равно -1

Найти количество целых решений неравенства

Answer 1

Решение:

    $\log_{\frac{1}{5}} \Big( \sqrt{ (x+3)^2 } + \sqrt[4]{(2-x)^4} \Big )\geq -1$

Так как степени $2$ и $4$ четные, нужно обязательно поставить модуль при упрощении подлогарифмического выражения:

    $\log_{\frac{1}{5}} \Big( \Big | x + 3\Big | + \Big | 2-x\Big | \Big)\geq -1$

Представим $-1$ как логарифм:

    $\log_{\frac{1}{5}} \Big( \Big | x + 3\Big | + \Big | 2-x\Big | \Big)\geq \log_{\frac{1}{5}}5$

Так как $\frac{1}{5} < 1$, знак неравенства меняется:

    $\Big | x + 3\Big | + \Big | 2-x\Big | \leq 5$

Полученное неравенство можно решить, например, методом интервалов:

• 1) $x \leq -3$

$(-x-3)+(2-x) \leq 5 \\x \geq -3$

  Здесь $x =-3$.

• 2) $-3<x<2$

$(x+3)+(2-x) \leq 5 \\5 \leq 5$

  Это правда: $x \in (-3;2)$.

• 3) $x \geq 2$

$(x+3)+(-2+x) \leq 5\\x \leq 2$

  То есть $x=2$.

Собирая все воедино, получаем, что $x \in \Big [-3;2 \Big ]$.

Целые решения: $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$. Всего $6$. Задача решена!

Ответ: 6.