В прямокутній трикутник вписане коло, точки дотику кола ділять гіпотенузу на 5см і 7 см. Знайти катети.
Ответы
Ответ:
(√71-1) см и (√71+1) см
Пошаговое объяснение:
Пусть х - радиус окружности.
Так как расстояния от общей вершины острого угла, измеренные по катету и по гипотенузе, равны, а расстояния от точки касания с катетами до вершины прямого угла равны радиусу вписанной окружности, то длины катетов являются суммами двух слагаемых:
(5+х) см - первый катет,
(7+х) см - второй катет.
Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
(5+х)² + (7+х)² = (5+7)²
25 + 10х + х² + 49+14х +х² = 144
2х²+24х+74-144 = 0
х²+12х-35=0
х₁,₂ = -6±√(6²-(-35) = -6±√71
х = -6 +√71 (отрицательное значение корня -6 -√71 отбрасываем, так как радиус не может быть выражен отрицательным числом).
Длины катетов:
(5+х) = 5 -6 +√71 = -1 +√71 =(√71 -1) см ≈ 8,42615 - 1 ≈ 7,42615 см
(7+х) = 7 -6 +√71 = 1 +√71 = (√71+1) см ≈ 8,42615 + 1 ≈ 9,42615 см
ПРОВЕРКА:
(√71-1)² + (√71+1)² = 71 - 2√71 +1 +71 +2√71 +1 = 144
144 = 12² - что соответствует условию задачи, следовательно, длины катетов найдены верно.
Ответ: (√71-1) см и (√71+1) см
ПРИМЕЧАНИЕ.
Дополнительная проверка делается по формуле:
r = (a+b-c)/2,
где г - радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник;
а и b - катеты,
с - гипотенуза.
Если подставим в эту формулу найденные длины катетов, то получим, что радиус окружности, вписанной в данный прямоугольный треугольник, равен (- 6 +√71) см, что соответствует значению х, полученному в ходе решения данной задачи.