Question

при яких значеннях параметра а функція f(x)=x^3+ax^2-2ax+3 зростає на всій числовій осі?

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$f(x)=x^3+ax^2-2ax+3$

Берем первую производную:

$f'(x)=3x^2+2ax-2a$

Берем вторую производную:

$f''(x)=6x+2a$

Функция гарантировано будет возрастать на всей области определения, если $f'(x)>0$.

Однако возможно, что при $f'(x)=0$ функция не меняет своего поведения, поэтому найдем такие $a$, при которых подобное происходит:

$\left\{\begin{array}{c}3x^2+2ax-2a=0\\6x+2a=0\end{array}\right;$

Решением системы будет $a=0$ и $a=-6$.

Теперь будем разбираться со случаем $f'(x)>0$.

Так как графиком здесь будет парабола, достаточно, чтобы дискриминант $D=4a^2+24a$ был отрицательный.

$4a^2+24a<0\\a\in(-6;\;0)$

Итого при $a\in[-6;\;0]$ функция $f(x)=x^3+ax^2-2ax+3$ возрастает на всей области определения.

Задание выполнено!