Question

найти все значения параметра а, при котором уравнение х+√(16-х^2) = a имеет единственное решение, напишите решение, пожалуйста

Answer 1

Заданное уравнение х+√(16-х^2) = a представим так:

√(16-х^2) = -х + a.

Левая часть - уравнение полуокружности в положительной полуплоскости, правая - уравнение прямой, в котором параметр а соответствует ординате точки пересечения с осью Оу.

Возведём в квадрат.

16-х^2 = х²- 2aх + а².

Получили квадратное уравнение:

2х²- 2aх + (а² - 16) = 0.

Дискриминант D = 4a²- 4*2*(а² - 16) = -4а² + 128.

Уравнение имеет единственное решение, если дискриминант равен нулю:

-4а² + 128 = -4(а² - 32) = 0.

Отсюда а = +-4√2.

Но так как на промежутке а = (4...4√2) имеется 2 решения, а значение а =  -4√2 выходит из области определения, то в ответ включаем:

-4 <= а < 4, а = 4√2.