Question

Доказать, что многочлен
f(x,y,z) = x3+y3+z3 - xyz
нельзя представить в виде произведения многочленов
первой степени с действительными коэффициентами.

Answer 1

Пусть дан многочлен:

$f(x,y,z) = x^3 + y^3 + z^3 -xyz$

Предположим, что его можно представить в виде произведения многочленов  первой степени с действительными коэффициентами.

Многочлен первой степени имеет вид:

$g(x,y,z) = ax + by + cz + d$, где $d$ - cвободный член.

Поскольку $f(x,y,z)$ не содержит свободного члена, то хотя бы один из свободных членов в одном из множителей равен $0$.

Но тогда, существует такая линейная комбинация:

$z = mx + ny$

При которой данный многочлен тождественно равен $0$.

Попробуем найти такую комбинацию:

$x^3 + y^3 + (nx+my)^3 -xy(nx + my) = 0$

$(n^3+1)x^3 + (m^3 + 1)y^3 +(3nm^2 -m)xy^2 + (3mn^2 -n)yx^2 = 0\\n^3 + 1 = 0\\n =-1\\m^3 +1 = 0\\m = - 1\\3nm^2 - m = - 2\neq 0$

Мы пришли к противоречию, это невозможно.