Question

решите уравнение в комплексной плоскости
$3^x+3^{-x} =2cosx$

Answer 1

Для поддержания внутреннего комфорта заменю буковку x на буковку z.

$\frac{e^{z\ln 3}+e^{-z\ln 3}}{2}=\cos z;\ \cos(iz\ln 3)-\cos z=0;$

$2\sin\frac{z+iz\ln 3}{2}\cdot\sin\frac{z-iz\ln 3}{2}=0;\ \left [ {{\sin\frac{ z(1+i\ln 3)}{2}=0} \atop {\sin\frac{z(1-i\ln 3)}{2}=0}} \right. ;$

$\left [ {{\frac{z(1+i\ln 3)}{2}=\pi n} \atop {\frac{z(1-i\ln 3)}{2}=\pi k}} \right.;\ \left [ {{z=\frac{2\pi n}{1+i\ln 3}} \atop {z=\frac{2\pi k}{1-i\ln 3}}} \right.;\ \left [ {{z=\frac{2\pi n(1-i\ln 3)}{1+ln^2 3}} \atop {z=\frac{2\pi k(1+i\ln 3)}{1+\ln^2 3}}} \right. .$

Конечно, n и k пробегают множество целых чисел.

Если кто-то сомневается, что уравнение sin z=0 в комплексной области решается по той же формуле, что и в действительной области, может применить стандартную процедуру решения такого типа уравнений:

$\sin z=0;\ \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=0;\ e^{iz}=e^{-iz};\ e^{2iz}=1;\ 2iz= Ln 1;$

$2iz=\ln 1+i(0+2\pi n)=2\pi n i; z=\pi n, n\in Z.$