Question

Числа α, β, γ являются корнями уравнения x ^ 3-4x ^ 2 + 4 = 0. Каково значение выражения α ^3βγ + αβ^3 + αβγ^3?

А) -72
В)72
С)16
Д)64
Е)-64

Answer 1

$x^{3}-4x^{2}+4=0$

По теореме Виета :

$\alpha \cdot \beta\cdot \gamma=-4\\\\\alpha\cdot \beta+\alpha\cdot \gamma+ \beta\cdot \gamma=0\\\\\alpha+ \beta+\gamma=4\\\\\underbrace{(\alpha+ \beta+\gamma)^{2}}_{16}=\alpha ^{2}+\beta ^{2} +\gamma^{2}+2\alpha\cdot \beta+2\alpha\cdot \gamma+ 2\beta\cdot \gamma=\\\\=\alpha ^{2}+\beta ^{2} +\gamma^{2}+2\underbrace{(\alpha\cdot \beta+\alpha\cdot \gamma+ \beta\cdot \gamma)}_{0}\\\\16=\alpha ^{2}+\beta ^{2} +\gamma^{2}+2\cdot 0\\\\\alpha ^{2}+\beta ^{2} +\gamma^{2}=16$

$\alpha ^{3}\beta \gamma+\alpha\beta ^{3}\gamma+\alpha \beta\gamma^{3} =\underbrace{\alpha \beta \gamma}_{-4}\cdot(\alpha ^{2}}+\beta ^{2} +\gamma^{2})=-4\cdot16=\boxed{-64}$