Question

Последовательность задана формулой n-го члена аn=1/4(n-7)2 Определить ,под каким номером в эту послед. Входит число 16

Answer 1

Ответ:

$15$

Объяснение:

$16 = \frac{1}{4}(n-7)^2\\16*4=(n-7)^2\\64=n^2-14n+49\\n^2-14n-15=0$

Можно решить через дискриминант:

$D=(-14)^2 - 4*1*(-15)=196+60=256=16^2\\n_1=\frac{-(-14)+\sqrt{16^2}}{2*1}=\frac{14+16}{2}=15\\n_2=\frac{-(-14)-\sqrt{16^2}}{2*1}=\frac{14-16}{2}=-1$

Можно решить через теорему Виета (так как коэффициент при $n^2$ равен $1$):

$\left \{ {{n_1+n_2=-(-14),} \atop {n_1*n_2=-15;}} \right. \\\left \{ {{n_1+n_2=14,} \atop {n_1*n_2=15.}} \right.$

Путём подбора находим корни $n_1=15,~~n_2=-1$

Поскольку $n$ должно быть натуральным числом (нет $-1$-го члена у последовательности), подходит только $15$. Проверим:

$\frac{1}{4}(15-7)^2=\frac{1}{4}*8^2=\frac{1}{4}*64=16$

Answer 2

Ответ:

$a_{n}=\dfrac{1}{4}\, (n-7)^2\\\\\dfrac{1}{4}\, (n-7)^2=16\ \ ,\ \ n^2-14n+49=64\ \ ,\ \ \ n^2-14n-15=0\ \ ,\\\\n_1=-1\ ,\ n_2=15\ \ (teorema\ Vieta)\\\\n_1=-1\notin N\\\\n_2=15\in N\\\\Otvet:\ \ a_{15}=16\ .$