Question

Ниже какого значения должен быть параметр а, чтобы при любом значении параметра b уравнение 3х²-12|х|-7|b-3a+6|+3|b-9|-2b+15a=75 имело ровно два корня?

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$3x^2-12|x|-7|b-3a+6|+3|b-9|-2b+15a=75\\3x^2-12|x|-7|b-3a+6|+3|b-9|-2b+15a-75=0$

Введем функцию $f(x)=3x^2-12|x|-7|b-3a+6|+3|b-9|-2b+15a-75$.

Заметим, что перед нами уравнение двух парабол, склеивающихся в фиксированной точке $x=0$.

Этот график может ездить только вверх-вниз в зависимости от значений параметров $a$ и $b$.

Уравнение $f(x)=0$ может иметь ровно два корня при любом значении параметра $b$ только, если $f(0)<0$.

Тогда перейдем к неравенству:

$-7|b-3a+6|+3|b-9|-2b+15a-75<0\\7|b-3a+6|-3|b-9|+2b-15a+75>0$

Построим его в координатах $(a;\;b)$.

(см. прикрепленный файл)

Получили, что при $a\in(-\infty;\;6)$ исходное уравнение имеет ровно два различных корня при любом значении параметра $b$.

Ответим теперь на вопрос задачи: ниже $6$.

Задание выполнено!