Question

Сколько существует семизначных телефонных номеров (последовательностей цифр от 0 до 9), в которых А) не встречаются цифры 5 и 77 Б) две одинаковые цифры не идут подряд? В) есть хотя бы две одинаковые цифры?

Answer 1

А)

Из 10 цифр мы можем использовать только 8. Каждая из этих 8 цифр может появиться на любом из 7 мест. Тогда, количество допустимых номеров:

$\overline{A_8^7}=8^7=2097152$

Б)

На первое место мы можем записать любую из 10 цифр, на второе - любую, кроме той, что записана на первом месте - это 9 вариантов, аналогично на третье - любую, кроме той, что записана на втором месте - это 9 вариантов, аналогично далее. Тогда, количество допустимых номеров:

$10\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9=5314410$

В)

Количество номеров, в которых есть хотя бы две одинаковые цифры, найдем как разность количества всевозможных номеров и количества номеров, где цифры не повторяются:

$10^7-A_{10}^7=10^7-10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4=10000000-604800=9395200$

Ответ: А) 2097152; Б) 5314410; В) 9395200