Question

высота правильной треугольной пирамиды равна 4 корня из 2. чему равен объем этой пирамиды, если площадь ее боковой поверхности в три раза больше площади основания?​

Answer 1

Надо основываться на формуле проекции фигуры: Sпр  = S*cosα, где α - угол наклона плоскости фигуры, в даном случае - боковой грани.

Так площадь основания So пирамиды равна проекции боковых граней на это основание, то So/Sбок = cos α = 1/3.

Находим sin α = √(1 - cos²α) = √(1 - (1/9)) = √(8/9) = 2√2/3.

Тогда tg α = (2√2/3) / (1/3) = 2√2.

Зная угол наклона боковой грани к основанию, находим проекцию апофемы, равную (1/3) высоты h основания.

tg α = H/((1/3)h). где Н - высота пирамиды.

Отсюда h = 3H/tg α = 3*4√2 / (2√2) = 6.

Сторона правильного треугольника a = H/(√3/2) = 12/√3 = 4√3.

Площадь основания So = a²√3/4 = 48√3/4 = 12√3.

Объём пирамиды V = (1/3)SoH = (1/3)*(12√3)*(4√2) = 16√6 куб.ед.