Question

Помогите, пожалуйста, решить уравнение

Answer 1

$4^{sinx+3/4}-(2+\sqrt{2})*2^{sinx}+1=0$

$(2^2)^{sinx+3/4}-(2+\sqrt{2})*2^{sinx}+1=0$

$4^{3/4}* 4^{sinx}-(2+\sqrt{2})*2^{sinx}+1=0$

 Так как     $4^{3/4}=(2^2)^{3/4}=2^{3/2} =2\sqrt{2}$ , то уравнение примет вид:

$2\sqrt{2} * (2^{sinx})^2-(2+\sqrt{2})*2^{sinx}+1=0$

   Замена:

   $2^{sinx}=y$

$2\sqrt{2}* y^2-(2+\sqrt{2})*y+1=0$

$D=(2+\sqrt{2} )^2-4*2\sqrt{2} *1=4+4\sqrt{2}+(\sqrt{2} )^2-8\sqrt{2}= 4-4\sqrt{2}+(\sqrt{2} )^2=(2-\sqrt{2} )^2$

$y_1=\frac{(2+\sqrt{2})-(2-\sqrt{2} )}{2*2\sqrt{2} } =\frac{2+\sqrt{2}-2+\sqrt{2} }{2*2\sqrt{2} } =\frac{2\sqrt{2} }{2*2\sqrt{2} } =\frac{1}{2}=2^{-1}$

                                               $y_1=2^{-1}$

$y_2=\frac{(2+\sqrt{2})+(2-\sqrt{2} )}{2*2\sqrt{2} } =\frac{2+\sqrt{2}+2-\sqrt{2} }{2*2\sqrt{2} } =\frac{4 }{2*2\sqrt{2} } =\frac{1}{\sqrt{2} }=2^{-1/2}$

                                               $y_2=2^{-1/2}$

Обратная замена:

1)    $2^{sinx}=y_1$

     $2^{sinx}=2^{-1}$

     ${sinx}=-1$

$x_1 = - \frac{\pi }{2} + 2\pi n$   ($n$∈$Z$)

2)   $2^{sinx}=y_2$

     $2^{sinx}=2^{-1/2}$

     $sinx=-\frac{1}{2}$

$x_2 = - \frac{\pi }{6} + 2\pi n$    ($n$∈$Z$)

$x_3 = \frac{7\pi }{6} + 2\pi n$     ($n$∈$Z$)

Ответ:   $x_1 = - \frac{\pi }{2} + 2\pi n$   ($n$∈$Z$)

             $x_2 = - \frac{\pi }{6} + 2\pi n$    ($n$∈$Z$)

             $x_3 = \frac{7\pi }{6} + 2\pi n$     ($n$∈$Z$)