Question

$\sum^n_{k=1}k^2$
Сумма ряда.

Answer 1

Рассмотрим (k+1)³ при k = 1, 2, ..., n:

2³ = 1³+3*1²+3*1+1

3³ = 2³+3*2²+3*2+1

......................................

(n+1)³=n³+3n²+3n+1

Сложив эти равенства, получим

2³+....+(n+1)³=1³+2³+...+n³+3(1²+2²+...+n²)+3(1+2+...+n) + n

(n+1)³=3(1+2+...+n²) + (3n(n+1))/2 + n + 1

3(1+2+...+n²)=(n+1)³-(3n(n+1))/2 -(n+1)

3(1+2+...+n²)=(n+1)((n+1)²- 3n/2 - 1)

3(1+2+...+n²)=(n+1)((2n²+n)/2)

1+2+...+n² = n(n+1)(2n+1)/6