Question

x^2 / log_2(x) > 2


Как решать подобные неравенства со сложными функциями? Кроме графического способа.

Answer 1

ОДЗ: x>0; x≠1.

Это нестандартная задача, и решается нестандартным способом. Правда, подобные нестандартные методы применяются  так часто, что их можно уже называть стандартными нестандартными способами.

Поскольку к логарифмам отношение обычно настороженное, избавимся от них. Замена $\log_2x=t;\ x=2^t;$ неравенство превращается в

$\frac{2^{2t}}{t}>2;$ при t<0 неравенство не выполнено, на ноль делить нельзя. Поэтому можно предположить, что t>0. А тогда неравенство можно домножить на t, получив неравенство $2^{2t}>2t;\ 2t=p>0;\ 2^p>p.$

Поскольку p>0, $2^p>1,$ поэтому при $p\le 1$ имеем $2^p>1\ge p\Rightarrow 2^p>p,$ то есть неравенство выполнено. При p>1 неравенство тем более выполнено, так как левая часть растет быстрее правой, поскольку

$(2^p)'=2^p\cdot \ln 2=2^{p-1}\cdot 2\cdot \ln 2=2^{p-1}\ln 4>1=p'.$

Итак, неравенство выполнено при p>0, то есть при t>0,  то есть при x>1.  

Ответ: $(1;+\infty).$