Question

Решить уравнение
$\frac{x^2-9}{\sqrt{4x-15}}+\sqrt{4x-15}=2x$.

Answer 1

Ответ:

________________________________

Answer 2

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\dfrac{x^2-9}{\sqrt{4x-15}}+\sqrt{4x-15}=2x$

Перейдем к общему знаменателю:

$\dfrac{x^2-9+4x-15-2x\sqrt{4x-15}}{\sqrt{4x-15}}=0\\\dfrac{(x^2-2x\sqrt{4x-15}+4x-15)-9}{\sqrt{4x-15}}=0\\\dfrac{(x-\sqrt{4x-15})^2-9}{\sqrt{4x-15}}=0\\\dfrac{(x-3-\sqrt{4x-15})(x+3-\sqrt{4x-15})}{\sqrt{4x-15}}=0$

Тогда верна запись:

$\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}x-3=\sqrt{4x-15}\\x+3=\sqrt{4x-15}\end{array}\right\\x>\dfrac{15}{4}\end{array}\right;$

Рассмотрим первую строку совокупности:

$x-3=\sqrt{4x-15}$

Прямая может пересечь график корня не более чем два раза. Заметим, что интересующее нас равенство достигается при $x=4$ или $x=6$. Тогда найденные числа являются корнями уравнения.

Рассмотрим вторую строку совокупности:

$x+3=\sqrt{4x-15}\\x^2+6x+9=4x-15\\x^2+2x+24=0\\D=4-96=-92<0$

Тогда такое уравнение корней не имеет.

Итого:

$\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}x=4\\x=6\end{array}\right\\x>\dfrac{15}{4}\end{array}\right,\;<=>\;\left[\begin{array}{c}x=4\\x=6\end{array}\right;$

Уравнение решено!