№30. Сила тяжести, действующая на искусственный спутник Земли, равна 4 кН. Определите кинетическую энергию спутника, если радиус его круговой орбиты 10000 км.
Ответ запишите в гигаджоулях (ГДж).
Ответы
Дано:
Fтяж = 4 кН = 4*10³ Н
R' = 10000 км = 10000*10³ м = 10⁷ м
Ек - ?
Решение:
Ек = mυ²/2
Используем закон всемирного тяготения:
Fтяг = G*m*M/(R + h)²,
где М - масса Земли, R - её радиус, h - высота над поверхностью Земли, m - масса спутника
Приравняем эту формулу к формуле силы тяжести (потому что сила тяжести - это частный случай закона всемирного тяготения)
Fтяг = Fтяж
G*m*M/(R + h)² = mg | : m
GM/(R + h)² = g
Тогда мы можем выразить массу m из формулы силы тяжести:
Fтяж = mg
m = Fтяж/g = Fтяж/(GM/(R + h)²) = Fтяж*(R + h)²/(GM)
Пока ничего не будем делать с высотой h и остальными величинами (хотя переживать по поводу массы Земли и её радиуса не приходится - значения табличные). Мы знаем, что спутник движется по окружности - его движение является криволинейным. А всякое криволинейное движение происходит с ускорением. Тогда по Второму закону Ньютона:
Fтяг = ma = mυ²/L,
где L = R + h => Fтяг = mυ²/(R + h)
Снова приравняем к формуле силы тяжести:
mυ²/(R + h) = mg | : m
υ²/(R + h) = g
Теперь подставим вместо g его выражение из закона всемирного тяготения:
υ²/(R + h) = GM/(R + h)² | * (R + h)
υ² = GM/(R + h)
Отлично. Теперь можно подставлять выражения m и υ² в формулу кинетической энергии:
Ек = mυ²/2 = (Fтяж*(R + h)²/(GM) * GM/(R + h)) / 2 = Fтяж*(R + h)/2 - остаётся разобраться с h
В задаче указывают радиус орбиты. И ясное дело, что этот радиус будет равен сумме радиуса Земли и высоты над её поверхностью:
R' = R + h - выражаем h:
h = R' - R - подставляем в конечную формулу:
Ек = Fтяж*(R + (R' - R))/2 = Fтяж*R'/2 = 4*10³*10⁷/2 = (4/2)*10¹⁰ = 2*10¹⁰ = 20*10⁹ Дж = 20 ГДж
Ответ: 20.