Question

$(\sqrt{\sqrt{6} -\sqrt{5} }) ^{x} + (\sqrt{\sqrt{6} +\sqrt{5} }) ^{x} = 2\sqrt{6}$

Answer 1

Ответ $\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\la\la\la\la\ddddddddddddddddddddddddddddddddcleverdddddd\ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff\pppppppppppppppppppppppppppppppppppp\dddddd \displaystyle \large \boldsymbol{:}$ x=±2

Объяснение:

• Один  в любой степени всегда равен одному  

• Преобразуем  :                  $\large \boldsymbol{}( \ \sqrt{6 } -\sqrt{5} \ )=\dfrac{\sqrt{6 } -\sqrt{5} }{\sqrt{6}+\sqrt{5} } \cdot (\sqrt{6}+\sqrt{5} )=\dfrac{1}{\sqrt{6} +\sqrt{5} }$

                                                                                                             $\displaystyle \large \boldsymbol{} \bigg((\sqrt{(\sqrt{6}-\sqrt{5} } \ )^x +(\sqrt{(\sqrt{6}-2 \sqrt{5} } \ \big)^x\bigg)^2=(2\sqrt{6} ) ^2\\\\\\ (\sqrt{6} -\sqrt{5})^x+2\cdot \underbrace{\sqrt{(6-5)^x}}_{1} +(\sqrt{6} +\sqrt{5})^x=24 \\\\ (\sqrt{6} -\sqrt{5})^x+(\sqrt{6} +\sqrt{5})^x=24-2 \\\\\\ \bigg(\frac{1}{\sqrt{6} +\sqrt{5} } \bigg)^x+(\sqrt{6} +\sqrt{5})^x=22$                               Сделаем замену  :                                                                                    $\displaystyle \large \boldsymbol{} t=\sqrt{6} +\sqrt{5} \ \ ; \ \ \frac{1}{t} =\frac{1}{\sqrt{6} +\sqrt{5} } \ ; \ t>0$                                                  $\displaystyle \large \boldsymbol{} t+\frac{1}{t} =22 \\\\t^2-22t+1=0 \\\\D=484-4=4\sqrt{30} \\\\t_{1}=\frac{22+4\sqrt{30} }{2} =11+2\sqrt{30}} \\\\t_2=\frac{22-4\sqrt{30} }{2} =11-2\sqrt{30}$          

• Теперь логарифм это степень которую извлекаем то есть :
• $log_2 8$  это значит нам нужно найти такую степень что бы при возведение ее в 2 получилось 8 ; а это 3 то есть        $log_2 8 =log_2 \ 2^\underline3} =\underline 3$            
• Когда к примеру у нас так :  
• $3^x=27 => x =log_ 3 \ 3^3=3$ ; при этом логарифм он не может быть равен отрицательному числу то есть : $3^x=-27 =x=log_3 -27 \ \bf=> \o$ ; но $11-2\sqrt{30} =\sqrt{121} -\sqrt{120} >0$ поэтому второй корень подходит
• $\displaystyle \large \boldsymbol{} (\sqrt{6}+\sqrt{5} )^x=11+2\sqrt{30} \\\\x_1=\log_{\sqrt{6}+\sqrt{5} }(\sqrt{6}+\sqrt{5} )^2 =\boxed2 \\\\\\ (\sqrt{6}+\sqrt{5} )^x= 11-2\sqrt{30 } \\\\x_2=\log_{\sqrt{6}+\sqrt{5}} (\sqrt{6}+\sqrt{5})^{-2} =\boxed{-2}$

Answer 2

$\dfrac{1}{\sqrt{\sqrt{6}- \sqrt{5} }}=\dfrac{\sqrt{\sqrt{6} +\sqrt{5} }}{\sqrt{\sqrt{6} -\sqrt{5} \cdot\sqrt{\sqrt{6} +\sqrt{5} }}}=\dfrac{\sqrt{\sqrt{6} +\sqrt{5} }}{\sqrt{(\sqrt{6})^{2}-(\sqrt{5})^{2} }} =$

$=\dfrac{\sqrt{\sqrt{6} +\sqrt{5} }}{1} =\sqrt{\sqrt{6} +\sqrt{5} }\\\\\boxed{\sqrt{\sqrt{6} +\sqrt{5} }=\dfrac{1}{\sqrt{\sqrt{6} -\sqrt{5} }}} \\\\\\(\sqrt{\sqrt{6} -\sqrt{5} })^{x} =m \ m>0 \ \dfrac{1}{(\sqrt{\sqrt{6} +\sqrt{5} })^{x} }=\dfrac{1}{m} \\\\m+\dfrac{1}{m}-2\sqrt{6} =0\\\\m^{2} -2\sqrt{6} m+1=0\\\\D=(-2\sqrt{6})^{2}-4\cdot1=24-4=20=(2\sqrt{5})^{2}\\\\m_{1}=\dfrac{2\sqrt{6} -2\sqrt{5} }{2}=\sqrt{6}-\sqrt{5} \\\\m_{2}=\dfrac{2\sqrt{6} +2\sqrt{5} }{2}=\sqrt{6}+\sqrt{5}$

$1)\Big(\sqrt{\sqrt{6}-\sqrt{5}}\Big)^{x} =\sqrt{6} -\sqrt{5} \\\\\Big(\sqrt{6} -\sqrt{5}\Big )^{\frac{1}{2} x}=\sqrt{6}-\sqrt{5} \\\\\dfrac{1}{2}x=1\\\\\boxed{x_{1}=2}\\\\2)\Big(\sqrt{\sqrt{6}-\sqrt{5}}\Big)^{x} =\sqrt{6} +\sqrt{5} \\\\\Big(\sqrt{6} -\sqrt{5}\Big )^{\frac{1}{2} x}=(\sqrt{6}+\sqrt{5})^{-1} \\\\\dfrac{1}{2}x=-1\\\\\boxed{x_{2}=-2}$