Question

Найдите x-y+z, если x^2+y^2+z^2=6x+8y+10z-50.

Answer 1

$x^{2} +y^{2} +z^{2} =6x+8y+10z-50\\\\(x^{2}-6x)+(y^{2} -8y)+(z^{2} -10z)=-50\\\\(x^{2}-6x+9)+(y^{2}-8y+16)+(z^{2}-10z+25)-9-16-25=-50\\\\(x^{2}-6x+9)+(y^{2}-8y+16)+(z^{2}-10z+25)=0\\\\(x-3)^{2}+(y-4)^{2} +(z-5)^{2} =0$

(x - 3)² ≥ 0  ;  (y - 4)² ≥ 0  ;  (z - 5)² ≥ 0

Это равенство выполняется только в случае , когда :

$\left\{\begin{array}{ccc}(x-3)^{2}=0 \\(y-4)^{2}=0 \\(z-5)^{2} =0\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{ccc}x-3=0\\y-4=0\\z-5=0\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{ccc}x=3\\y=4\\z=5\end{array}\right\\\\\\\boxed{x-y+z=3-4+5=4}$