Question

Если трехзначные числа вида aba+1 делить на 7, то получается одинаковые остатки. Найдите этот остаток, если сумма цифр a и b делится на 7 без остатка.

Answer 1

Так как известно, что сумма цифр a и b делится на 7 без остатка, то запишем:

$a+b=7m,\ m\in\mathbb{N}$

Рассмотрим число $\overline{aba}$:

$\overline{aba}=100a+10b+a=91a+10a+10b=91a+10(a+b)=$

$=91a+10\cdot7m=7(13a+10m)$

Так как в произведении есть множитель 7, то такое произведение делится на 7.

Тогда, рассмотрим сумму:

$\overline{aba}+1=7(13a+10m)+1$

Первое слагаемое делится на 7, а второе при делении на 7 дает остаток 1. Значит, при делении записанной суммы на 7 получится остаток 1.

Ответ: 1