Question

Решите параметр №18 из ЕГЭ
(даю 100 баллов)

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$(4^x-3\times2^x+3a-a^2)\times\sqrt{2-x}=0$, ОДЗ: $x\le2$.

Заметим, что $x=2$ является корнем уравнения при любом значении параметра. Тогда нужно, чтобы уравнение $4^x-3\times2^x+3a-a^2=0$ имело ровно один корень принадлежащий ОДЗ и не равный двум.

Введем замену $t=2^x$. Откуда $t>0$.

Тогда уравнение примет вид:

$t^2-3t+3a-a^2=0$

Переформулируем условие задачи:

Найти все значение параметра $a$, при каждом из которых записанное выше уравнение имеет ровно один корень, принадлежащий промежутку $(0;\;4)$.

Введем функцию $f(t)=t^2-3t+3a-a^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а координата вершины имеет значение $t_0=1.5$.

Отрисовав возможные расположения парабол, учитывая расположение ее вершины, перейдем к системам:

(я рисовать их не буду, так как на компьютере это неудобно + вы говорите, что уже сами задачу решили)

$\left\{\begin{array}{c}D=0\\0<t_0<4\end{array}\right;$          /или/          $\left\{\begin{array}{c}D>0\\f(4)>0\\f(0)\le0\end{array}\right;$

Выполним необходимые вычисления:

$f(0)=-a^2+3a\\f(4)=-a^2+3a+4\\D=4a^2-12a+9=(2a-3)^2$

Тогда записи примут вид:

$a=1.5$          /или/     $\left\{\begin{array}{c}a\ne1.5\\-a^2+3a+4>0\\-a^2+3a<0\end{array}\right;$

Итого при $a\in\left(-1;\;0\right]\cup\left\{\dfrac{3}{2}\right\}\cup\left[3;\;4\right)$ исходное уравнение имеет ровно два различных корня.

Задание выполнено!