Question

$\cos( \sin(x) ) > 0$
Я понимаю, что график соответствующей функции находится выше OX, поэтому неравенство выполняется всегда. Можно ли решить неравенство без функций?​

Answer 1

$\cos( \sin(x) ) > 0$

Косинус больше нуля при таких значениях его аргумента:

$- \frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

В нашем случае его аргумент – синус, значит:

$- \frac{\pi}{2} + 2\pi n < \sin(x) < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Синус существует в пределах от -1 до 1 включая концы. Переберём несколько значений n:

1. n = 0

$- \frac{\pi}{2} < \sin(x) < \frac{\pi}{2}$

Имеем ввиду, что $\pi\approx 3.14$, а $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Поэтому для n = 0 неравенство выполняется для всех х;

2. n = -1:

$- \frac{\pi}{2} - 2\pi< \sin(x) < \frac{\pi}{2} - 2\pi \\ \frac{\pi}{2} - 2\pi \approx1.57 - 6.2 < - 1$

Так как верхняя граница меньше -1, то нижняя и подавно, следовательно неравенство не выполняется.

3. n = 1:

$- \frac{\pi}{2} + 2\pi< \sin(x) < \frac{\pi}{2} + 2\pi \\ - \frac{\pi}{2} + 2\pi \approx - 1.57 + 6.2 > 1$

В этом случае нижняя граница больше 1, а синус нестрого меньше 1, значит неравенство опять же не выполняется.

В итоге получили единственный случай при котором выполняется неравенство – при n = 0.

Ответ: $x \in \mathbb R$.