Question

Помогите пожалуйста. При каком значении а уравнение (a/(x^2-4x+7))-4x=3-x^2 имеет три решения? Фото уравнения прилагаю

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\dfrac{a}{x^2-4x+7}-4x=3-x^2$

Выполним преобразования:

$\dfrac{a}{x^2-4x+7}+\left(x^2-4x+7\right)=10$

Сделаем замену вида $t=x^2-4x+7$.

Тогда уравнение примет вид:

$\dfrac{a}{t}+t=10,\;<=>\;\dfrac{t^2-10t+a}{t}=0$

Вернемся к записи $t=x^2-4x+7$.

Заметим, что:

• Если $t>3$, получим два $x$.
• Если $t=3$, то один.
• Если $t<3$, корней не будет.

Тогда, чтобы исходное уравнение имело три решения, нужно чтобы корнями уравнения $t^2-10t+a=0$ были $t=3$ и любое $t>3$.

Опираясь на этот вывод, выполним необходимые вычисления:

$3^2-10\times3+a=0\\a=21$

При $a=21$:

$t^2-10t+21=0,\;<=>\;\left[\begin{array}{c}t=3\\t=7\end{array}\right;$

Итого при $a=21$ исходное уравнение имеет ровно три различных корня.

Задание выполнено!