Question

На праздник к Деду Морозу пришло много детей.
Каждый со своим подарком, который принесли родители.
Дед Мороз был "весел" и все принесенные подарки собрал в свой огомный мешок. А в конце праздника раздал подарки детям случайным образом.
Чему равна вероятность, что хотя бы один ребенок получит подарок от своих родителей?

Answer 1

Ответ:

$P(A)=1-\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k}{k!}\underset{n\to\infty}{\to} 1-\dfrac{1}{e}\approx 0.63$

Пошаговое объяснение:

Пусть всего детей было n, и у родителей по одному ребенку.

Событие A="Хотя бы один ребенок получит подарок от своих родителей" противоположно событию B="Ни один ребенок не получит подарок от своих родителей". Значит, искомая вероятность $P(A)=1-P(B)$.

Найдем количество вариантов раздачи подарков, при которых каждый ребенок получит подарок от чужих родителей.

Рассмотрим таблицу $n\times n$ (см. приложение). Столбец соответствует родителям, строка - детям, выбор ячейки на пересечении i-ой строки и j-ого столбца означает, что i-ый ребенок получил подарок от j-ых родителей [ячейки диагонали не рассматриваются, т.к. получение подарка от своих же родителей - неподходящая ситуация]. Требуется выбрать n ячеек такой таблицы так, чтобы в каждом столбце и строке была выбрана ровно одна ячейка [каждый ребенок получил подарок не от своих родителей, и каждый родитель вручил подарок не своему ребенку].

А это известная задача о расстановке ладей, не бьющих друг друга и не находящихся на одной из диагоналей, для которой было получено явное выражение числа вариантов [подробнее, например, Окунев Л. Я. Комбинаторные задачи на шахматной доске. — 1935 , с .8-14]

$Q_n=n!\sum\limits_{k=2}^n \dfrac{(-1)^n}{k!}$

Всего вариантов раздачи подарков $P_n=n!$.

Но тогда $P(B)=\dfrac{Q_n}{n!}=\sum\limits_{k=2}^n \dfrac{(-1)^k}{k!}$.

Отсюда $P(A)=1-\sum\limits_{k=2}^n \dfrac{(-1)^k}{k!}=1-\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k}{k!}$

________________________

Теперь рассмотрим ситуацию при $n\to\infty$

Используя разложение $e^x=\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{x^k}{k!}$, получим при $x=-1$ равенство

$\dfrac{1}{e}=\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{(-1)^k}{k!}$.

Значит, $\lim\limits_{n\to\infty}P(A)=1-\dfrac{1}{e}$