Question

На представление пришёл 2021 зритель, и все
они сели в сплошном ряду. Некоторые из них
ушли на антракт и, вернувшись, сели в другие
кресла. Могло ли так получиться, что
расстояния между любыми двумя зрителями
до и после антракта оказались не равны друг
другу?

Answer 1

Ответ:

Да, такое возможно!

Объяснение:

Пусть все зрители ушли на антракт, а когда вернулись, то на места сначала сели зрители с нечётными номерами, а затем все с чётными. В этом случаем мы можем быть уверены, что расстояние между двумя любыми чётными и двумя любыми нечётными изменилось, так как между любыми двумя чётными зрителями пропали нёчытные, а между любыми двумя нечётными зрителями пропали чётные. Поэтому осталось одна ситуация, которую нужно рассмотреть, когда между зрителями с чётным и нечётным номером расстояние могло не изменится. $2x$ – чётное число, $2y-1$ – нечётное число. Тогда после антракта нечётные зрители сидят на позиции $x$, а чётные на позиции $1011+y$ (так как 1011 – количество зрителей с нечётными номерами). Нам нужно сравнить, может ли старое расстояние равняться новому:$| 2y-1-2x | = 1011+x-y$. Уравнение имеет две переменные, что не очень удобно, поэтому обозначим $x-y=z$: $| -2z-1 | = 1011+z$. Раскрывая модуль, мы получаем два случая:

1) $z=-\frac{1012}{3}$ – такое невозможно, так как z – разность мест (x-y), оно не может быть дробным

2) $z=1010$

$z=x-y$, тогда $x=z+y\geq 1011$, так как $z=1010$. Если мы поптаемся найти такую пару зрителей, чтобы после антракта расстояние бы совпало, то найти зрителя с чётным номером не получится, потому что $2x\geq 2022$, а зрителя с таким номером не существует