Question

Решите уравнение : //////////////////////////

Answer 1

Ответ:

$x=5$

Объяснение:

Введем замену $x-5=t$:

$\sqrt{t+1}+\sqrt{1-t}=\sqrt[4]{t^2+16}\;\;\;\;(1)$

1) Согласно неравенству между средним арифметическим и средним квадратичным

$\sqrt{t+1}+\sqrt{1-t}=2\cdot \dfrac{\sqrt{t+1}+\sqrt{1-t}}{2}\leq 2\cdot \sqrt{\dfrac{t+1+1-t}{2}}=2\cdot \sqrt{1}=2$

2) $t^2\geq 0\Rightarrow \sqrt[4]{t^2+16}\geq \sqrt[4]{16}=2$

Но тогда уравнение $(1)$ равносильно системе

$\left\{\begin{array}{c}\sqrt{t+1}+\sqrt{1-t}=2\\ \sqrt[4]{t^2+16}=2\end{array}\right.$

Из 2ого уравнения системы получаем возведением в 4 степень

$t^2+16=16\Leftrightarrow t=0$

Возвращаясь к исходной переменной, получим $x=5$

Подставим в условие:

$\sqrt{1}+\sqrt{1}=\sqrt[4]{16}\Leftrightarrow 2=2$ - верно