Question

При каких значениях параметра а система не имеет решений:

(а+3)x+4y=3a-5

ax+(a-1)y=2

Answer 1

Ответ: -1

Пошаговое объяснение:

$\begin{cases}(a+3)x+4y=3a-5\\ax+(a-1)y=2\end{cases}$

Если $a=1$

$\begin{cases}4x+4y=-2\\x=2\end{cases}\begin{cases}y=-2.5\\x=2\end{cases}$

Система имеет решение

Если $a\ne1$

$\begin{cases}y=-\dfrac{a+3}{4}x+\dfrac{3a-5}{4}\\y=-\dfrac{a}{a-1}x+\dfrac{2}{a-1}\end{cases}$

Графиком каждого уравнения системы является прямая

Система не имеет решений тогда и только тогда, когда данные две прямые не имеют общих точек

Для этого необходимо и достаточно, чтобы они были параллельны и не совпадали

Прямые параллельны в том случае, если у них равные угловые коэффициенты

$-\dfrac{a+3}{4}=-\dfrac{a}{a-1}\\(a+3)(a-1)=4a\\a^2-2a-3=0\\a_1=-1\\a_2=3$

Убедимся, что при найденных значениях параметра прямые не совпадают

При $a=-1$ свободные коэффициенты равны $\dfrac{3a-5}{4}=-2$ и $\dfrac{2}{a-1}=-1$, значит при $a=-1$ система не имеет решений

При $a=3$ свободные коэффициенты равны $\dfrac{3a-5}{4}=1$ и $\dfrac{2}{a-1}=1$, значит при $a=3$ прямые совпадают и система имеет бесконечно много решений