Question

Докажите, что в выражении {2024}^{2}*{2023}^{2}*{2022}^{2}*...*{2}^{2}*{1}^{2} знак «*» можно заменить знаками «`+`» и «`-`» так, чтобы полученное выражение равнялось `2024`

Answer 1

$2024^2*2023^2*2022^2*...*2^2*1^2$

Заменим звездочки на знаки ("минус", "минус", "плюс", "плюс") по порядку. Тогда получим выражение:

$2024^2-2023^2-2022^2+2021^2+...+4^2-3^2-2^2+1^2$

Запишем выражение с использованием скобок:

$(2024^2-2023^2)-(2022^2-2021^2)+...+(4^2-3^2)-(2^2-1^2)$

Применяя формулу разности квадратов, получим:

$(2024-2023)(2024+2023)-(2022-2021)(2022+2021)+...+$

$+(4-3)(4+3)-(2-1)(2+1)$

Заметим, что в каждом из произведений первая скобка равна 1. Поэтому выражение можно упростить:

$(2024+2023)-(2022+2021)+...+(4+3)-(2+1)$

Рассмотрим скобки парами, или же сами числа четверками. Рассмотрим первую четверку чисел:

$(2024+2023)-(2022+2021)=(2024-2022)+(2023-2021)=2+2=4$

Рассуждая аналогично, можно понять, что каждая из таких четверок дает в сумме 4. Но таких четверок в 4 раза меньше, чем самих чисел. Значит, общая сумма чисел равна их количеству, то есть 2024.