Question

Приведите пример такого многочлена с целыми коэффициентами , что число $\sqrt[3]{3} +\sqrt[3]{9}$ является его корнем.

Answer 1

Ответ:

x³ - 9x - 12

Объяснение:

Пусть $x=\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}$. Тогда

$x^3=3+3\cdot \sqrt[3]{3}^2\cdot\sqrt[3]{9}+3\cdot \sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{9}^2+9\\x^3=12+3\cdot \sqrt[3]{27\cdot 3}+3\cdot\sqrt[3]{27\cdot 9}\\x^3=12+9\sqrt[3]{3}+9\sqrt[3]{9}\\x^3=12+9\cdot(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})\\x^3=12+9x\\x^3-9x-12=0$

При обратной замене левая часть действительно обратится в 0, так как все преобразования были равносильны. Значит, таким многочленом может быть x³ - 9x - 12.