Question

Почему пересечения а не совокупность и когда что ставить?

Answer 1

Ответ:

1 способ .

$x^2-|x|>2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \left[\begin{array}{l}x^2-x-2>0\ ,\ esli\ x\geq 0\ ,\\x^2+x-2>0\ ,\ esli\ x<0\ .\end{array}\right$

То есть либо выполняется неравенство  $x^2-x-2>0$  при  $x\geq 0$  ,   либо выполняется неравенство  $x^2+x-2>0$   при   $x<0$  (совокупность) .

$a)\ \ x^2-x-2>0\ ,\ esli\ x\geq 0\\\\x^2-x-2=0\ \ ,\ \ x_1=-1\ ,\ x_2=2\\\\(x+1)(x-2)>0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x\in (-\infty ;-1\, )\cup (2\ ;+\infty )\\\\+++(-1)---(2)+++$

Найдём пересечение двух множеств, так как оба неравенства должны выполняться одновременно .

$\left\{\begin{array}{l}x\in (-\infty ;-1\, )\cup (2\ ;+\infty )\\x\geq 0\end{array}\right\ \ \Rightarrow \ \ \ \boxed{\ x\in (\ 2\ ;+\infty )\ }$

$b)\ \ x^2+x-2>0\ ,\ esli\ x\geq 0\\\\x^2+x-2=0\ \ ,\ \ x_1=-2\ ,\ x_2=1\\\\(x+2)(x-1)>0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x\in (-\infty ;-2\, )\cup (\ 1\ ;+\infty )\\\\+++(-2)---(1)+++\\\\\left\{\begin{array}{l}x\in (-\infty ;-2\, )\cup (\ 1\ ;+\infty )\\x<0\end{array}\right\ \ \Rightarrow \ \ \ \boxed{x\in (-\infty ;\ -2\, )}\\\\\\\underline{Otvet:}\ \ \left[\begin{array}{l}x\in (\ 2\ +\infty )\\x\in (-\infty ;\ -2\ )\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \boxed{\ x\in (-\infty ;-2\ )\cup (\ 2\ ;+\infty )\ }\ .$

2 способ .

$x^2-|x|>2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ |x|^2-|x|-2>0\ ,\ \ tak\ kak\ \ x^2=|x|^2\ .\\\\\boxed{\ t=|x|\geq 0\ }\ \ ,\ \ t^2-t-2>0\ \ ,\\\\t^2-t-2=0\ \ ,\ \ t_1=-1\ ,\ t_2=2\\\\(t+1)(t-2)\geq 0\ \ ,\ \ \ znaki:\ \ +++(-1)---(2)+++\\\\\boxed{\ t\in (-\infty ;-1\ )\cup (\ 2\ ;+\infty )\ }\\\\\\\left\{\begin{array}{l}t\in (\infty ;-1\ )\cup (\ 2\ ;+\infty )\\t\geq 0\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow$

$t\in (\ 2\ ;+\infty )\ \ \Rightarrow \ \ t>2\ \ \Rightarrow \ \ |x|>2\ \ \Rightarrow \ \ \left[\begin{array}{l}x>2\\x<-2\end{array}\right\\\\\\Otvet:\ \ \boxed{\ x\in (-\infty ;-2\ )\cup (\ 2\ +\infty )\ }\ .$