Question

В треугольнике высота, равная 4, делит основание в отношении 1:2. Найдите основание треугольника, если радиус вписанной окружности равен $\frac{18}{7+\sqrt{13} }$

Answer 1

Треугольник ABC, углы A B C, высота AE = h = 4; радиус вписанной окружности r = 18/(7 + √13) = (7 - √13)/2;

Ясно, что h/sinB + h/sinC + h(ctgB + ctgC) = 2p (периметр)

2S = 2pr =  hr(1/sinB + 1/sinC + (ctgB + ctgC)) =  h^2(ctgB + ctgC);

1/sinC + 1/sinB = (h/r-1)(ctgB + ctgC);

По условию ctgC=2ctgB; кроме того, 1/sinB = √(1 + (ctgB)^2); и также для C.

Пусть x = ctgB; a = h/r - 1; тогда

√(1 + 4x^2) + √(1 + x^2) = 3ax;

уравнение решается элементарно.

√(1 + 4x^2) = 3ax - √(1 + x^2);

1 + 4x^2 = 1 + x^2 -6ax√(1 + x^2) + (3ax)^2;

(3a^2 - 1)x = 2a√(1 + x^2); и дальше еще раз возвести в квадрат, и уравнение решится само собой.

Но на самом деле тут можно прерваться и вспомнить, что x = ctgB, откуда x/√(1 + x^2) = cosB = 2a/(3a^2 - 1); то есть фактически задача уже решена, надо только подставить числа и довести до формального ответа.

a = h/r - 1 = 4(7 +√13)/18 - 1 = (5 + 2√13)/9;

a^2 = (25 + 10√13 + 4*13)/81 = (77 + 20√13)/81;

3a^2 - 1 = (50 + 20√13)/27;

2a/(3a^2 - 1) = (2/9)*(5 +2√13)*27/(50 + 20√13) = 3/5;

Итак, cosB = 3/5; = > sinB = 4/5; => ctgB = 3/4.

Основание равно 3h*ctgB = 3*4*3/4 = 9;

Если сосчитать все, то получился треугольник со сторонами 9, 5 и 2√13; высота к стороне 9 равна 4 (по условию) и делит её на отрезки 3 и 6; отрезок длины 3 вместе с высотой 4 и стороной 5 образуют "египетский" треугольник 3,4,5. (Видимо, эта задача так и составлялась - взяли минимальный Пифагоров треугольник, продлили катет 3 за вершину прямого угла на удвоенную длинну, и получили условие.)

Легко проверить, что

площадь равна S = 9*4/2 = 18;

полупериметр p = (9 + 5 + 2√13)/2 = 7 + √13;

r = S/p = 18/(7 + √13);

Answer 2

Пусть дан треугольник АВС, высота BD = 4. r = 18/(7 + √13).

Примем AD = x, CD = 2x.

Тогда сторона основания АС = 3х.

Боковые стороны: АВ = √(16 + х²), ВС = √(16 + 4х²).

Периметр треугольника Р = 3х + √(16 + х²) + √(16 + 4х²).

Площадь треугольника S = (1/2)*4*3x = 6x.

Отсюда выразим периметр через площадь и радиус вписанной окружности:

P = 2S/r = 12x/(18/(7 + √13)) = 12x(7 + √13)/18 = 2x(7 + √13)/3.

Приравняем:

3х + √(16 + х²) + √(16 + 4х²) = 2x(7 + √13)/3.

Решение уравнения: х = 3.

Ответ: основание АС = 3*3 = 9.