Question

Скільки коренів має залежно від параметра $a$ має рівняння $|x^2+2| x-2|-4|=a$

Answer 1

Для решения данной задачи можем построить график функции

$y=|x^2+2|x-2|-4|$ , а после найти сколько пересечений имеет данный график с прямой $y=a$.

Для того график данной функции было проще построить, раскроем модуль |x-2|, имеем.

$y=\left \{ {{|x^2+2x-8| x\geq 2} \atop {|x^2-2x|x<2}} \right.$Изобразим данный два графика, с учетом условий.

1) для построения графика функции $y=|x^2+2x-8|$ нужно сначала построить график функции $y=x^2+2x-8$ после сделать следующие преобразования: Выше оси абсцисс(и на самой оси) график функции $y=x^2+2x-8$ оставить без изменений, ниже оси абсцисс - симметрия относительно оси абсцисс.

Для построения графика $y=x^2+2x-8$, нужно найти координаты вершины параболы: $x_0=\frac{-2}{2}=-1; y_0=1-2-8=-9 (-1;-9)$, найдем корни для того чтобы узнать в каких точках график пересекает оси абсцисс. По теореме Виета $x_1=-4;x_2=2$ (график построен на картинке 1). Теперь сделаем преобразования которые были описаны выше для того чтобы построить модуль этого графика(рис.2). Далее учтем наше ограничение $x\geq 2$, имеем(рис.3).

2)для построения графика функции $y=|x^2-2x|$ нужно сначала построить график функции $y=x^2-2x$ после сделать следующие преобразования: Выше оси абсцисс(и на самой оси) график функции $y=x^2+2x$ оставить без изменений, ниже оси абсцисс - симметрия относительно оси абсцисс.

Для построения графика $y=x^2-2x$, нужно найти координаты вершины параболы: $x_0=\frac{2}{2}=1; y_0=1-2=-1 (1;-1)$, найдем корни для того чтобы узнать в каких точках график пересекает оси абсцисс.  $x_1=0;x_2=2$ (график построен на картинке 4). Теперь сделаем преобразования которые были описаны выше для того чтобы построить модуль этого графика(рис.5). Далее учтем наше ограничение $x< 2$, имеем(рис.6).

Теперь объединим построенные два графика для того чтобы получить график функции $y=|x^2+2|x-2|-4|$ (рис.7).

Графиком функции $y=a$ является прямая совпадающая (при a=0) или параллельная относительно оси абсцисс. Теперь с помощью графика выясним сколько решений имеет уравнение при различных значениях параметра а(рис.8).

Из рисунка видно что: при $a\in(-\infty;0)$ нет корней, при $a=0$ два корня, при $a\in(0;1)$ четыре корня, при $a=1$ три корня, при $a\in (1;+\infty)$ два корня

ОТВЕТ: при $a\in(-\infty;0)$ нет корней, при $a=0$ два корня, при $a\in(0;1)$ четыре корня, при $a=1$ три корня, при $a\in (1;+\infty)$ два корня