Question

Вот такая система уравнений, сложно
$x {}^{3} y + xy {}^{3} = 5(x + y) {}^{2} \\ x {}^{4}y + xy {}^{4} = 3(x + y) {}^{3}$
Помогите пожалуйста, решить ​

Answer 1

Рассмотрим случай, когда $x+y\neq 0$

Умножим первое уравнение на  $x+y$, если в результате решения системы получим решение, в котором $x = -y$, то исключаем его.

$(x^3y + xy^3)(x+y) = 5(x+y)^3\\x^4y + xy^4 + x^3y^2 + y^3x^2 = 5(x+y)^3$

Используя второе уравнение системы, получаем:

$x^2y^2(x+y) = 2(x+y)^3$

Поскольку: $x+y\neq 0$

$x^2y^2 = 2(x+y)^2$

Преобразуем первое уравнение системы:

$xy(x^2+y^2) = 5(x+y)^2\\xy(x^2+y^2 + 2xy) = 5(x+y)^2 + 2x^2y^2\\xy(x+y)^2 = 9(x+y)^2\\xy = 9$

Откуда получаем:

$(x+y)^2 = \frac{81}{2} \\(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy = \frac{81}{2} - 36 = \frac{9}{2}$

$x+y = +-\frac{9\sqrt{2} }{2} \\x-y =+-\frac{3\sqrt{2} }{2}$

$x_{1} = (9+3)\frac{\sqrt{2} }{4} = 3\sqrt{2} \\y_{1} = (9 - 3)\frac{\sqrt{2} }{4} = \frac{3\sqrt{2} }{2} \\x_{2} = (-9+3)\frac{\sqrt{2} }{4} = -\frac{3\sqrt{2}}{2} \\y_{2} = (-9 - 3)\frac{\sqrt{2} }{4} = -3\sqrt{2} \\x_{3} = (-9-3)\frac{\sqrt{2} }{4} = -3\sqrt{2} \\y_{3} = (-9 + 3)\frac{\sqrt{2} }{4} = -\frac{3\sqrt{2} }{2}\\x_{4} = (9-3)\frac{\sqrt{2} }{4} = \frac{3\sqrt{2} }{2}\\y_{4} = (9 + 3)\frac{\sqrt{2} }{4} = 3\sqrt{2}$

Осталось рассмотреть случай: $x=-y$

Подставляя в первое уравнение системы получаем:

$xy(x^2+y^2) = 0\\x= y =0$

Нетрудно убедится, что они удовлетворяют и второму уравнению системы:

$x_{5} = y_{5} = 0$