Question

В треугольнике ABC на стороне AC отмечена точка К так,что AK:KC=3:5, на стороне BC -точке L так что, BL:LC=2:1.Отрезки AL и BK пересекаются в точке М.Найдите площадь треугольника ABM, если площадь треугольника ABC равна 38

Answer 1

По теореме Менелая для треугольника BKC:

$\dfrac{CL}{LB}\cdot\dfrac{BM}{MK}\cdot\dfrac{KA}{AC}=1$

$\dfrac{2}{1}\cdot\dfrac{BM}{MK}\cdot\dfrac{3}{8}=1~~\Rightarrow~~\dfrac{BM}{MK}=\dfrac{4}{3}$

Рассмотрим отношение площадей треугольников ABC и ABL

$\dfrac{S_{ABC}}{S_{ABL}}=\dfrac{\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot \sin B}{\frac{1}{2}AB\cdot BL\cdot \sin B}=\dfrac{3}{2}~\Rightarrow~ S_{ABL}=\dfrac{2}{3}S_{ABC}=\dfrac{76}{3}$

Отношение площадей треугольников ABC и BKC:

$\dfrac{S_{ABC}}{S_{BKL}}=\dfrac{\frac{1}{2}BC\cdot AC\sin C}{\frac{1}{2}BC\cdot CK\sin C}=\dfrac{8}{5}~~\Rightarrow~~S_{BKL}=\dfrac{95}{4}$

Аналогично, рассмотрим отношение площадей треугольников BKC и MBL

$\dfrac{S_{BKC}}{S_{BML}}=\dfrac{\frac{1}{2}BK\cdot BC\sin \alpha}{\frac{1}{2}BM\cdot BL\sin \alpha}=\dfrac{3\cdot7}{2\cdot4}=\dfrac{21}{8}~\Rightarrow~S_{BML}=\dfrac{190}{21}$

$S_{ABL}=S_{ABM}+S_{BML}$ отсюда найдём площадь треугольника ABM

$S_{ABM}=S_{ABL}-S_{BML}=\dfrac{76}{3}-\dfrac{190}{21}=\dfrac{114}{7}$