Question

Докажите, что уравнение $x^n+ax+b=0$ имеет не больше 3 корней.

Answer 1

Объяснение:

Количество корней будет завесить от количества экстремумов функции.

У функции уравнения с тремя корнями должно быть два экстремума, у функции с четырьмя конями  должно быть три экстремума.

Чтобы найти экстремумы берём производную.

$(x^{n} +ax+b)'=nx^{n-1}+a=0\\x^{n-1}=\frac{-a}{n}$

В случае если n четное, а показатель степени соответственно нечётный, это уравнение будет иметь всего один корень

$x=\sqrt[n-1]{\frac{-a}{n} }$

Если n не чётное, то это уравнение будет иметь два корня

$x_{1,2}=\pm\sqrt[n-1]{\frac{-a}{n} }$

Но три корня быть не может, следовательно эта функция может иметь или один экстремум и максимум два корня или два экстремума и максимум три корня.