Question

Помогите пожалуйста решить ​

Answer 1

Ответ:

$\frac{1}{\sqrt{e} }$

Объяснение:

$A=\lim_{x \to0} \sqrt[x]{cos\sqrt{x} }$

$\sqrt{x} =t, x \to0, t \to0$

$B=\sqrt[x]{cos\sqrt{x} }=\sqrt[t^{2} ]{cost}=(cost)^\frac{1}{{t^{2} } }$

$A= \lim_{t \to 0}B=\lim_{t \to 0}e^{lnB}=e^{\lim_{t \to 0}lnB}=e^{C}$

$C=\lim_{t \to 0}lnB=\lim_{t \to 0}ln(cost)^\frac{1}{{t^{2} } }=\lim_{t \to 0}\frac{ln(cost)}{{t^{2} } }$

Получили неопределённость вида 0/0. Используем  правило Лопиталя.

$(ln(cost))^{'}=\frac{(cost)^{'}}{cost} =\frac{-sint}{cost}=-tgt \\(t^{2} )^{'}=2t$

$C=\lim_{t \to 0}\frac{ln(cost)}{{t^{2} } }=\lim_{t \to 0}\frac{-tgt}{{2t} }$

Опять имеем неопределённость вида 0/0. Используем  правило Лопиталя.

$(-tgt)^{'}=-\frac{1}{cos^{2} t}\\(2t)^{'}=2$

$C=\lim_{t \to 0}(-\frac{1}{{2cos^{2} t } })=-\frac{1}{2}$

$A=e^{C}=e^{-\frac{1}{2} }=\frac{1}{\sqrt{e} }$